論文證明了布爾超立方體上的塔拉格蘭卷積猜想（Talagrand’s convolution conjecture），結果精確到一個log log η因子。

怎么解決的？

塔拉格蘭卷積猜想（Talagrand’s Convolution Conjecture）由阿貝爾獎得主 Michel Talagrand 于 1989 年提出，被視為高維概率與分析領域的硬核難題。

為了理解這一猜想，需要先了解兩個關鍵概念。

一個是加熱平滑。想象一個極高維的空間，像一張巨大的多維棋盤，每個格子只有兩個狀態(tài)。其上有一個函數——可能極不平滑，有的點特別尖銳、有的點異常低洼。

數學中的卷積或熱半群操作，就像給這個函數加熱：

熱量向周圍擴散，高值向低值流動，使得整個函數變得光滑，尖峰被削平。

另一個是馬爾可夫不等式：一個非負隨機變量取特別大值的概率會很小。

例如，平均值為 1，則大于 100 的概率最多只有 1%（1/η 的形式）。

Talagrand 猜想認為，在高斯空間、布爾超立方體這類概率空間里，對函數進行加熱平滑之后，函數取到極端大值的概率，不僅應被 1/η 控制，還應該額外再除一個與函數 Image 有關的因子。

換句話說，經過平滑后的數據，其極端異常值比一般理論認為的還要更少。

連續(xù)空間（高斯情形）的猜想已經被解決，但推廣到離散空間（如布爾超立方體）被認為是天塹。

原因一，連續(xù)空間依賴微積分、隨機微分方程等工具；原因二，離散空間沒有這些“光滑結構”，無法直接照搬。

因此，該問題長期懸而未決。

Yuansi Chen 的核心思路，是從高斯空間的隨機分析中取材，通過構造一種能適應離散結構的反向熱過程。

關鍵創(chuàng)新在于：

第一，新的耦合構造沿隨機過程加入擾動，但擾動 δ 不是常數，而是依賴狀態(tài)與坐標。

第二，這種非均勻擾動讓加熱冷卻的概念得以在布爾超立方體上重新成立，從而重建高維分析工具。

最終，論文證明，Talagrand 猜想的核心思想是正確的，誤差僅差一個近乎可以忽略的 log log η 因子。

如何跟 AI 關聯(lián)？

雖然論文屬于純數學，但其理論與現(xiàn)代機器學習，尤其是生成式 AI 有天然聯(lián)系。

反向熱過程 = 離散擴散模型的數學版本

擴散模型是生成式 AI 的基礎機制。論文中的“反向熱過程”是其離散對應。這可能推動：

1. 離散數據生成模型的理論設計

2. 針對二值、邏輯函數的更強大生成式方法

平滑操作帶來正則化

Talagrand 猜想實質是定量描述“卷積帶來的正則化效應”。

在機器學習中，正則化是提高泛化能力、防止過擬合的核心。

為什么加噪聲、平滑化、擴散等操作能讓高維模型更穩(wěn)定？該結果提供了更深層的理論解釋：

高維離散數據是機器學習的主流

許多數據（文本、二值特征、邏輯結構）本質都是高維離散的。這項研究將幫助我們理解它們的幾何結構，并發(fā)展新的學習理論。

90 后華人副教授

該論文由 1990 年出生的華人數學家 Yuansi Chen 完成。

Yuansi Chen 籍貫浙江寧波，他的研究領域包括：統(tǒng)計機器學習、馬爾可夫鏈蒙特卡羅、應用概率和高維幾何。

2019 年，他獲加州伯克利大學分校博士，導師為著名統(tǒng)計學家郁彬。

在從事 2 年蘇黎世聯(lián)邦理工學院博士后的研究后，他于 2021 至 2024 年在杜克大學統(tǒng)計系擔任助理教授。2024 年回到蘇黎世聯(lián)邦理工學院，任副教授。

參考資料：

https://arxiv.org/abs/2511.19374